¿Qué es una demostración matemática? [2/3]

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En la primera parte de esta entrada vimos que las teorías matemáticas, para ser coherentes y evitar contradicciones, deben cumplir con las condiciones de completitud y consistencia,es decir, que las afirmaciones que contengan deben ser demostrables y no ser contradictorias unas con otras. Para conseguir esto, los matemáticos enuncian sus teorías respetando una estructura muy característica que se basa en dos componentes fundamentales: los teoremas y los axiomas.

Un teorema es una afirmación matemática demostrada, que funciona, y que nos sirve como herramienta para demostrar otros teoremas. Así, partiendo de algo que sé que es cierto, puedo demostrar otras afirmaciones que, a su vez, cuando esté seguro de que son ciertas, me servirán para demostrar otras nuevas y así sucesivamente. Veamos este proceso con un ejemplo muy sencillo.

Imaginemos que queremos ir de Sevilla a Córdoba, y que para eso tenemos que coger un tren que tarda una hora en llegar. Son las cuatro de la tarde, y quiero llegar a las cinco y media. Si el tren sale a las cuatro y media y vuelve desde Córdoba nada más llegar, ¿llegaré a tiempo?

Utilizando el teorema “el tren tarda una hora en llegar a Córdoba”, vemos enseguida que la respuesta es sí. Por tanto, la afirmación “llegaré a Córdoba a las cinco y media” ya no es una pregunta: se ha convertido en un teorema (una afirmación verdadera).

Si ahora me hago la pregunta ¿podré estar de vuelta en Sevilla a las seis y cuarto?, utilizamos este nuevo teorema junto con el primero y deducimos que no, porque como muy pronto podré llegar a Sevilla a las seis y media. Hemos encontrado un tercer teorema que dice “no puedo estar de vuelta en Sevilla a las seis y cuarto”.

Pero claro, esta cadena de demostraciones debe tener un principio, pues para empezar a demostrar teoremas tendremos que partir de algún tipo de afirmación inicial que no sea necesario demostrar. Pues bien, las afirmaciones que se utilizan para comenzar a demostrar otras y que no necesitan de una demostración previa son los denominados axiomas. Por tanto, toda teoría matemática comienza siempre enunciando un conjunto de axiomas a partir de los cuales se van deduciendo todos los teoremas que la construyen, y además un axioma es lo único que un matemático acepta como verdad sin pedir explicaciones (o casi).

Aunque hay una gran cantidad de axiomas en matemáticas, quizá los más célebres son los Axiomas de Euclides, que forman la base de toda la Geometría Clásica que conocemos desde la enseñanza básica. Éstos son cinco que enunció el propio Euclides:
  • Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
  • Se puede prolongar cualquier segmento para que forme una recta en su misma dirección.
  • Se puede trazar una circunferencia con su centro en cualquier punto y con cualquier radio.
  • Por un punto externo a una recta pasa una única recta paralela a ésta.
Y estos los dos que se añadieron posteriormente (aunque en descargo del propio Euclides hay que decir que los matemáticos tardaron muchísimo tiempo en darse cuenta):
  • Dos circunferencias cuyos centros estén a una distancia menor que sus radios se cortan en dos puntos.
  • Dos triángulos con dos lados iguales y dos ángulos comprendidos también iguales son congruentes.

Partiendo de estas siete afirmaciones, podemos deducir todos los teoremas que forman la Geometría Euclídea, como por ejemplo que la suma de los ángulos de un triángulo da siempre 180 grados, el Teorema de Thales, etcétera.

Los axiomas, por su propia naturaleza, son las verdades absolutas de las que se parte para crear una teoría, pero esto no significa que sean intocables. Un conjunto determinado de axiomas forman la base de una teoría determinada, pero si se modifica uno de ellos, aunque sea mínimamente, podemos construir otra teoría completamente nueva en la que las reglas serán diferentes. Un ejemplo bastante ilustrativo acerca de esto lo podemos encontrar sorprendentemente en el mundo del deporte.
Según la tradición del Rugby, en 1823 durante un partido de fútbol William Webb Ellis, harto de darle patadas al balón, lo cogió con las manos y lo llevó hasta la línea de gol. Mr. Ellis había modificado una de las reglas del fútbol (un axioma), que dice que “no se puede tocar el balón con la mano”, cambiándola por otra que dice “el balón puede ser jugado con las manos o con los pies indistintamente”. El resultado fue espectacular, pues a todo el mundo le pareció muy interesante la posibilidad de agarrar el balón con los brazos y lanzarse contra una masa de contrarios dispuestos a aplastarlo contra el suelo. Pero había una cosa clara: aquello ya no era fútbol, era algo completamente nuevo y distinto. Lo que hizo el bueno de Ellis fue nada más y nada menos que inventar el rugby.

Pues exactamente lo mismo se puede hacer en matemáticas, y de hecho, en las matemáticas modernas es algo que ocurre con frecuencia y que ha permitido el desarrollo de disciplinas completamente nuevas, como por ejemplo la que se obtiene al modificar el quinto axioma de Euclides para que diga “por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a ésta”. Lo único que hay que tener en cuenta es que todos los teoremas que deduzcamos utilizando este nuevo axioma tienen que ser coherentes con él y con todos los demás, y si esto ocurre, la nueva teoría será completamente válida.

Así, mediante esta simple modificación, aparentemente sin importancia, se obtiene una geometría completamente nueva, que funciona perfectamente y en la que no existen las rectas paralelas. Esta teoría se conoce como Geometría Esférica o de Riemann, con propiedades distintas de la de Euclides, y que aunque pueda parecer un mero entretenimiento de matemáticos aburridos en realidad tiene muchas e importantes aplicaciones en ingeniería, topografía, cartografía y otras cosas que acaban en -ía.

 Javier Oribe

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5 Comentarios en “¿Qué es una demostración matemática? [2/3]”

  1. pepe 25 marzo, 2012 en 16:26 #

    En realidad la afirmación de que el tren tarda una hora, ¿ es un axioma, no un teorema, no?

  2. LUIS 23 octubre, 2011 en 1:23 #

    funciona….

  3. merillein 10 septiembre, 2011 en 11:27 #

    Interesante!

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