Una ilusión matemática

Permítanme que comience haciéndoles una pregunta: de los dos segmentos que aparecen en la figura de la derecha, ¿cuál es el más largo?

A primera vista parece que el segmento mayor es el B, pero si prestan atención y se fijan bien podrán comprobar como por muchas vueltas que le den el segmento B sigue pareciendo mayor que el A.

Sin embargo, por extraño que les parezca, lo que está llegando a sus ojos es una imagen en la que aparecen dos segmentos que tienen exactamente la misma longitud (compruébenlo aquí),  aunque por culpa de las flechas dibujadas en los extremos lo que vemos es que el segmento de arriba es menor que el de abajo. Y lo más curioso es que seguiremos viéndolo así aunque sepamos que estamos equivocados.

Este conocido ejemplo de ilusión óptica viene como anillo al dedo para ilustrar un curioso problema que nuestro cerebro no es capaz de interpretar correctamente, por lo que podríamos decir que se trata de una especie de ilusión matemática.

Se trata de comparar el tamaño de dos conjuntos muy concretos, en el sentido de averiguar cuál de ellos tiene más elementos. El primer conjunto será N, el de los números naturales, que son aquellos con los que podemos contar cosas: 1, 2, 3, 4, ... , que como supongo que sabrán tiene una cantidad infinita de elementos. El segundo conjunto es el formado por todas las parejas de números naturales que podamos hacer, es decir, el (1,1), el (1,2), o el (84,123312) por ejemplo, que obviamente también es un conjunto infinito y que llamaremos NxN. ¿Cuál de los dos conjuntos tiene más elementos?

Veamos que nos dice la intuición. Si llamamos ω al número de elementos del conjunto de los números naturales, como cada número natural aparece en NxN emparejado con todos los demás parece lógico pensar que este segundo conjunto tiene bastantes más elementos que el primero, tantos como resulte de multiplicar ωxω. Es decir, nuestro cerebro nos dice que NxN debe tener ω veces más elementos que N, y por tanto tiene que ser muchísimo mayor.

Sin embargo podemos demostrar fácilmente no sólo que esto no es cierto, sino que además ambos conjuntos tienen exactamente el mismo número de elementos. Si ordenamos los elementos de NxN en una tabla donde en la primera fila aparezcan los elementos que empiezan con el 1, en la segunda los que lo hacen con el 2, etcétera; y disponemos las columnas de la misma manera, podemos escoger los elementos de NxN siguiendo el orden que indican las flechas:

 

Comprobamos entonces cómo los elementos de NxN pueden ordenarse de tal forma que (1,1) es el 1º, (2,1) es el 2º, (1,2) es el tercero, (1,3) el cuarto y así sucesivamente. Esto significa que podemos contar todos elementos de NxN, y como contar es asignar números naturales, a cada elemento de NxN se le puede asignar otro de N. Por tanto, al contrario de lo que pensábamos, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o dicho de otro modo ωxω=ω.

Así, aunque nuestro cerebro nos dice que ambos conjuntos no son iguales, la lógica nos demuestra que lo son. Y por mucho que intenten convencerse de ello, no es posible hacerse una imagen en la cabeza de cómo pueden tener los mismos elementos dos conjuntos cuando uno de ellos se construye a partir de los ladrillos del otro, aunque sí se pueda comprender la lógica de la demostración.

En definitiva este problema nos muestra que el cerebro humano es imperfecto, hasta el punto de que nuestra imaginación sí tiene límites. Y si no se lo creen, fíjense en las películas que ha sacado Hollywood en los últimos diez años y después me cuentan.

Javier Oribe
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12 Comentarios en “Una ilusión matemática”

  1. Avatar
    Lott mayo 29, 2017 at 8:53 pm #

    Pensaba que, como los conjuntos no están acotados, tendrían el mismo número de elementos, que sería infinito. ¿No sería correcta esta aproximación? Saludos.

  2. Avatar
    chistes octubre 8, 2011 at 5:01 pm #

    Muy buen articulo.

  3. Avatar
    Santiago Perez Romero octubre 8, 2011 at 8:23 am #

    Gran artículo Javi, gracias por acercar las mates al idioma de aquellos que, como yo, siempre hemos tenido problemas para entenderlas.O quizas nunca tuve un profe tan didáctico...

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    Javi Oribe octubre 7, 2011 at 10:06 am #

    Casi todo lo que dices es correcto, salvo un detalle: sí hay diferentes magnitudes de infinito.

    Por ejemplo, el hecho de que entre dos números reales cualesquiera siempre se puedan encontrar infinitos números reales más da un carácter al "infinito" de éstos que podríamos definir de "mucho mayor" que el "infinito" de los número naturales.

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      anibalbueno octubre 7, 2011 at 10:17 am #

      Comprendo. Quizás ahí es donde radica la "ilusón matemática". Nuestro cerebro ya tiene problemas para concebir el término infinito (no hay más que ver que desde siempre hemos buscado el principio y predicho el final de las cosas por necesidad intelectual), como para aun encima tener que hacernos una idea mental de diferentes magnitudes de infinito. Tenemos que aceptar nuestras limitaciones.

      Un placer hablar contigo Javi

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        Javi Oribe octubre 7, 2011 at 11:19 am #

        Yo opino que no es que nos cueste entender el infinito, es que somos absolutamente incapaces de imaginárnoslo. Si embargo sí somos capaces de aceptarlo como concepto y trabajar con él, hasta tal punto que en las matemáticas actuales es un concepto fundamental, y creo que eso dice mucho en favor de nuestra capacidad de razonamiento.

        Un saludo Aníbal, gracias por us comentarios.

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          Scruz octubre 7, 2011 at 3:26 pm #

          Muy buen artículo. Entre los Cuentistas cuánticos, Francis (th)e Mule y Javi Oribe, me voy a volver un fan-adicto de la física y las matemáticas. Que se lo digan a mis profesores de Matemáticas I y Bioestadística!!

          Ladeando un poco el tema. Hablas de diferentes magnitudes de infinito. ¿Podrías hablar un poco mas de ellas?, tal vez un post?

          Hay un tema en neurociencia que siempre me ha inquietado y es precisamente este: Aunque no comprendemos o podemos imaginar el infinito, si que somos capaces de identificar e incluso matizar el concepto. Me parece fascinante...

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            Javier octubre 7, 2011 at 3:43 pm #

            Como le digo a mis alumnos cuando me preguntan por cosas que se salen del temario, podría hablaros de distintas magnitudes de infinito, pero después tendría que mataros XD

            Ahora en serio, es un tema pero que muy interesante y daría para una buena entrada, no descartes que algún día me lance.

            Gracias y un saludo.

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      Obijuan Quenobi octubre 11, 2011 at 10:51 am #

      ¡Buf! Creo esa afirmación de que hay "diferentes magnitudes de infinito" creo que se puede entender, pero tiene su miga. Significa que dentro de un intervalo finito (limitado) puede haber infinitos elementos, pero eso es como decir que hay un infinito más infinito que otros (o como decía Ned Flanders a Homer, "¡infinitas veces más una!").

      Me viene a la mente la aseveración popular que dice "siempre hay un pez más grande" (que se dice cuando a un organismo de la cúspide de la pirámide alimenticia se lo cruspe otro que está más arriba aún). Esto es contradictorio, ya que el nº de individuos vivos en un planeta es finito, y alguno debe estár en lo más alto de la pirámide... a lo mejor la frase debería cambiar a "es altamente probable que haya un pez más grande".

      También me acuerdo de dos guiños al infinito de la película Men in Black: cuando se descubre que la galaxia que deben proteger está dentro del collar de un gato, y cuando al final se descubre que nuestro propio universo no es más que una mota de purpurina en la canica de un alienígena.

      Basta con que te pongas a darle vueltas al término infinito para que te empiece a doler la cabeza (seguro que es un mecanismo de defensa para evitar la sobrecarga neural). ¿No será este uno de esos temas en los que es fácil que la Ciencia y la Filosofía acaben de la mano?

      Saludos

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        Javi Oribe octubre 11, 2011 at 11:42 am #

        Efectivamente Obijuan, no sólo no podemos imaginarnos el infinito más sencillo, sino que tampoco somos capaces de comprender que un objeto (real o matemático) no esté incluido dentro de otro. Dime tú a mí quién es el guapo capaz de imaginarse un Universo que se contiene a sí mismo, a ver.

        Y lo mejor es que estos dos infinitos de los que hemos hablado no son los únicos que se manejan, ni mucho menos, pero mejor lo dejamos para otra ocasión que mi psicólogo no me deja que le dedique a esto más de diez minutos al día 😀

  5. Avatar
    anibalbueno octubre 7, 2011 at 10:02 am #

    Buen artículo Javi.

    Realmente el tema está en que w en este caso es infinito, por lo tanto infinito x infinito = inifinito

    El conjunto N tiene infinitos elementos y el conjunto NxN tiene infinitos elementos. Son "magnitudes" diferentes de infinito, pero a la práctica infinito siempre es infinito, sea cual sea su "magnitud". ¿Correcto?

    Un saludo.

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  1. Bitacoras.com - octubre 7, 2011

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