¿Quiere usted ganar un millón de dólares?. Números primos, Riemann y mensajes cifrados

Desde que a muy temprana edad en el colegio, entramos en contacto con las matemáticas, escuchamos a los profesores hablar de los números primos. Muchos de nosotros, seguramente nos recordemos a nosotros mismos, bastante pequeños, obteniendo los factores primos de un número (es decir, factorizando el número).

Factorización numérica

 

Recordemos que los números primos son los números naturales mayores que 1, cuyos únicos divisores son él mismo y el 1. Números primos son, por lo tanto, 2, 3, 5, 7, 11, etc. (la comunidad matemática suele excluir de la lista el numero 1).  Adentrándonos poco a poco en esta selecta secuencia, nos topamos con la propia teoría de números y descubrimos propiedades de los números primos que se estudiaron hace más de 2000 años.

En el año 300 antes de Cristo, Euclides demuestra que hay infinitos números primos. Posteriormente, en el año 236 antes de Cristo, Eratóstenes descubre una criba que lleva su nombre, la cual nos proporciona un algoritmo para determinar los números primos menores a un número natural dado. Ya en el siglo XVIII, los estudios de ilustres matemáticos como Gauss y Legendre, conducen al teorema de los números primos, el cual nos da la cantidad de números primos menores a un número dado. Un poco más tarde, Leonard Euler relaciona los primos con los números enteros en una fórmula maravillosa. Entonces, sale a colación el nombre de un matemático: Bernhard Riemann.

En 1896, en una pequeña aldea de Alemania, nace Bernhard Riemann. Después de estudiar filosofía, teología y fundar una nueva geometría (la geometría de Riemann), formula por primera vez uno de los problemas más importantes de las matemáticas puras, la llamada “hipótesis de Riemann”.

A partir del trabajo de Euler, Riemann establece una conexión entre la función compleja Zeta de Riemann y el producto de Euler. Sea s > 1 un número complejo y p un número primo. Tenemos:

Hipótesis de Riemann

Si nos fijamos atentamente en esta fórmula, veremos que no es tan difícil de entender como pueda parecer a simple vista. Nos dice, que una determinada suma infinita es igual a una determinada multiplicación infinita. La suma infinita es la función Zeta de Riemann y la multiplicación infinita es el producto de Euler. Son los ceros no evidentes de esta función los que, en teoría, tienen la clave de cómo se distribuyen los números primos en la recta real, la clave para descubrir el patrón de estos misteriosos números, en definitiva, la clave para comprender algunos de los sistemas para el envío de mensajes secretos cifrados.

Los números primos son usados en algunos sistemas de cifrado de mensajes, como el RSA (Rivest, Shamir, Adleman). Este es un sistema de cifrado de los llamados de clave pública y funcionan de la siguiente forma: supongamos que usted quiere enviarme un mensaje secreto, un mensaje que únicamente yo pueda leer. Entonces yo le envío a usted un cofre con una cerradura, pero se lo envío abierto. Usted recibe el cofre, escribe el mensaje, lo mete dentro del cofre, lo cierra con la cerradura (ahora ni usted mismo puede leer el mensaje que ha escrito) y me envía el cofre a mi. Cuando me llega, lo abro con mi llave y leo el mensaje. La clave pública es el cofre con la cerradura abierta y la clave privada es la llave para abrir el cofre.

Algorítmo RSA

La seguridad de estos sistemas se basa en el problema de hallar los factores primos de un número entero muy grande. Básicamente, se escogen dos números primos muy grandes y se multiplican entre si, algo que es muy fácil para cualquier computador. Después de algunas operaciones sencillas, se obtiene una clave pública y otra privada para descifrar el mensaje. Lo que no es tan sencillo es hallar los dos factores primos originales que hemos multiplicado, es decir, factorizar el número. El ordenador podrá hacerlo, pero puede tardar miles de años en conseguirlo.

Por este motivo (y otros) son tan importantes los números primos, porque en ellos se basan  algunos de los sistemas de cifrado actuales. Demostrar que la hipótesis de Riemann es correcta, apenas influye en la práctica, ya que los sistemas suponen que la hipótesis es cierta y actúan en consecuencia, pero su demostración puede crear potentes demostraciones y herramientas matemáticas nuevas.

Sin embargo, el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares a quien consiga demostrar la validez o no de la hipótesis de Riemann.

Sin darnos cuenta, hemos pasado de factorizar números en la escuela, a sistemas para enviar mensajes secretos, y hemos terminado en la posibilidad de ganar un millón de dólares, haciéndonos un hueco en la historia demostrando la hipótesis de Riemann, un problema que algunos consideran el mayor reto matemático al que se enfrenta el pensamiento humano.

¿Alguno de ustedes se anima a intentarlo?.

José David Villanueva García

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19 Comentarios en “¿Quiere usted ganar un millón de dólares?. Números primos, Riemann y mensajes cifrados”

  1. Avatar
    Claudia vargas septiembre 4, 2019 at 4:57 am #

    Me encantaria participar.porque creo en mi capacidad de entender y resolverlo de echo estoy tan segura de tener la resoluccion y no me importa tanto el dinero solo demostrarme que soy capaz de esta solucion como lo pueden ser alguien con estudios .solo nesesito que me den la oportunidad y si con un 50 % de lo que dan estaria conforme

  2. Avatar
    luis noviembre 7, 2014 at 11:29 pm #

    Osea, que regalan 1 millon de dolares a quien demuestre si la hipótesis de un Teólogo es verdadera o falsa. Pensaba que el premio sería por descubrir el patrón de generación de números primos.

    • Avatar
      José David noviembre 8, 2014 at 11:48 am #

      Hola Luis.

      El premio la dan por demostrar la hipótesis de Riemann, no por descubrir el patrón de generación de números primos.

      Esto último sería conseuencia de demostrar la hipótesis de Riemann.

      Podrías descubrir un patrón de generación de números primos, y sería muy importante, pero no ganarías el premio.

      Respecto a lo del Teólogo, seguramente te refieres a que Riemann, además de matemático era teólogo. Hombre, te invito a que leas la biografía de este gran hombre y gran matemático para que te des cuenta que no porque alguien estudie Teolgía, Historia o cualquier otra cosa no haya que escucharle.

      Un saludo.

      Saludos.

  3. Avatar
    cristian septiembre 16, 2014 at 3:14 pm #

    Hola buenos dias, alguno me puede indicar donde hay información formal del problema y si no es mucho pedir algo de la historia del arte; he buscado pero solo encuentro descripciones del problema pero nada formal... Gracias de antemano.

  4. Avatar
    Rafa octubre 13, 2013 at 3:51 pm #

    Vamos a ver, yo tengo una criba expresada en una fórmula con la que hallo todos los numeros q no son primos, el problema es que no me dan ordenados por dos lugares algunos. ¿Podria hallar fórmula general de los números primos a partir de ahí?

  5. Avatar
    carlos julio 7, 2012 at 11:19 pm #

    Corrijo comentario anterior; favor disculpar.

    La cantidad de primos en el intervalo [n, 2n] tiende a ser la misma que la del intervalo [0, n] cuando n tiende a infinito; ello se demuestra mediante la función prima o mediante la aproximante de Gauss. En otras palabras, en sentido absoluto, no existe distribución caótica de primos en el conjunto de los naturales.

    • Avatar
      josedavid julio 8, 2012 at 11:42 am #

      Hola. Muy cierto lo que dices Carlos. De hecho, el Teorema de los Números Primos nos da un resultado sobre la distribución asintótica de los números primos, es decir, si P(x) es el número de primos menores o iguales que x, entonces P(x) es aproximadamente igual a x / L(n) (L logaritmo natural). Mejor aún, si usamos el logaritmo integral Li(x), el cual es aproximadamente igual a P(x). Hay una conexión entre P(x) y la función zeta de Riemann. Eso si, con todos estos elementos no podemos asegurar matemáticamente que los números primos siguen un patrón, es decir, no se distribuyen de manera caótica en la recta real. Aunque sepamos al 99.999 % que esto es así (de hecho hay sistemas que suponen que hay un patrón), necesitamos la prueba matemática final, la definitiva.
      Gracias por tu comentario y saludos.
      Jose David.

  6. Avatar
    carlos julio 7, 2012 at 10:40 pm #

    La cantidad de primos en el intervalo [0, 2n] tiende a ser la misma que la del intervalo [0, n] cuando n tiende a infinito; ello se demuestra mediante la función prima o mediante la aproximante de Gauss. En otras palabras, en sentido absoluto, no existe distribución caótica de primos en el conjunto de los naturales.

  7. Avatar
    biel diciembre 6, 2011 at 2:55 am #

    Perdonad:
    Yo Riemann no la se interpretar porque no tengo conocimientos matemáticos suficientes. Lo que sí he descubierto, jugando con los numeros y, al principio, como entretenimiento, es la distribución de los números primos, tan caótica de cerca y tan hermosa en su conjunto.

    • Avatar
      josedavid diciembre 6, 2011 at 12:59 pm #

      Amigo biel. La verdad es que la teoría de números es una de las ramas más maravillosas de las matemáticas, aunque también es difícil. Saludos.

    • Avatar
      josedavid diciembre 6, 2011 at 4:42 pm #

      Por cierto, biel, has descubierto.......¿qué?. 😉
      Saludos.

      • Avatar
        biel diciembre 6, 2011 at 8:39 pm #

        Creo que he descubierto la distribucion armonica de los numeros primos. La universidad esta interesada solo en descubrir la manera de saber rapidamente si un numero es primo o no. Yo sigo investigando porque creo que podré expresar los numeros con una formula.

  8. Avatar
    Flor noviembre 18, 2011 at 6:38 pm #

    Si usted paga por la formula o el algoritmo para determinar la secuencia a la que corresponde un numero primo, puede escribirme al email.

    Le hago saber que no dare informacion alguna hasta que haya un acuerdo legal.

    • Avatar
      Adrián Fernández noviembre 18, 2011 at 9:19 pm #

      ¿En serio? ¿Y la ofreces mediante comentarios en blog? Qué poca fiabilidad da eso...

    • Avatar
      javieroribe noviembre 19, 2011 at 5:30 pm #

      ¿Porqué conformarse con lo que podamos poner a escote entre los humildes redactores de este blog? Véndaselo usted al gobierno de EEUU, Rusia o China, que a buen seguro le pagarán millones de dólares por esa información, ya que le permitiría averiguar las claves de las cominucaciones más secretas.

      Y cuando lo haga, acuérdese de quien le dio la idea e invítenos a una buena cena al menos.

      Le deseo suerte, la va a necesitar.

  9. Avatar
    José David noviembre 9, 2011 at 7:22 pm #

    Javier, como Perelman rechazó el premio (aunque podría haber ido a por la medalla Fields) quizás den dos millones por resolver esta hipótesis, aunque no creo 🙂
    Gracias.

  10. Avatar
    Javier Oribe noviembre 9, 2011 at 11:38 am #

    Buen artículo, me ha encantado el ejemplo del algoritmo RSA, se entiende perfectamente.

    Quería añadir una cosa que hay que advertir acerca del premio: hay que averiguar la demostración antes de que lo haga Grigori Perelman, que si no el millón se queda sin dueño!!!

    Saludos.

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