Mama, la habitación ya está ordenada: es un caos

Con esta entrada Hablando de Ciencia participa en la edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas celebrado en Que no te aburran las M@tes.

Desde que el hombre es hombre, mas allá de cualquier tipo de religión o creencia, existe en su interior una curiosidad profunda por el conocimiento de la naturaleza. Siempre hemos tratado de obtener una respuesta determinada y única a cualquier proceso natural, es decir, una respuesta determinista. Al fin y al cabo si, por ejemplo, tiramos un objeto de una cierta masa desde una altura fija, siempre obtendremos la misma velocidad del objeto cuando llegue al suelo, es decir, poseemos una formula definida para explicar el fenómeno. Pero como casi siempre ha pasado en la historia de la ciencia, tiene que llegar alguien y estropearnos estos esquemas tan bonitos que tenemos y que funcionan tan bien. Actualmente, esto puede estar pasando con el famoso experimento de los neutrinos, y en nuestro caso el responsable fue Edward Lorenz, un matemático y meteorólogo estadounidense.

Los inicios de la teoría del caos se remontan a una anécdota entre las investigaciones de Lorenz, quien pretendía predecir el clima. Lorenz tenia un sistema de 12 ecuaciones introducidas en una simulación informática de la época (los años 60) que, si bien no predecía correctamente el clima, daba una probabilidad aceptable del tiempo que podría llegar a  hacer. Un día fue a verificar unos datos usando sus 12 ecuaciones en la computadora, pero en ese momento tenía mucha prisa, y en lugar de introducir los datos con 7 decimales, solo introdujo 3 decimales, lo que llevó a resultados completamente distintos. Se dio cuenta que una mínima  variación en las condiciones iniciales del sistema, conducía a resultados absolutamente diferentes. Por supuesto que al introducir 3 decimales en lugar de 7, los resultados debieran ser distintos, pero también deberían ser  muy parecidos, al fin y al cabo hablamos de unos pocos decimales. Sin embargo, los resultados eran absolutamente diferentes. Acababa de nacer la teoría matemática del caos, la cuál fue en sus comienzos una curiosidad matemática mas que una teoría.

Para ilustrar lo que le ocurrió a Lorenz, supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 7y = 0.70

7x + 10y = 1

La solución a este sistema es x=0, y=0.1

Variemos muy poco las condiciones iniciales del sistema, hagamos, por ejemplo:

5x + 7y = 0.69

7x + 10y = 1.01

Únicamente hemos variado en 0.01 las sumas de ambas ecuaciones, y sin embargo la solución a este sistema es x=-0.17, y=0.22, absolutamente distinta de la solución anterior. Al ser la variación que hemos hecho tan pequeña, ambas soluciones se deberían parecer un poco y sin embargo no es así, difieren por completo, parecen soluciones de sistemas completamente distintos. La teoría del caos es la rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos, en particular, aquellos que son muy sensibles a las posibles variaciones de sus condiciones iniciales.

Como a todas las teorías matemáticas, se le exige la capacidad de predecir de forma correcta cómo evolucionará un objeto dado con el tiempo, y además tiene que hacerlo de forma precisa. Había que dar una respuesta coherente a estos fenómenos. Como ya dijimos en el articulo sobre los fractales, conocemos perfectamente muchos procesos naturales como el movimiento de los planetas o la composición química de las cosas pero desconocemos total o parcialmente el motivo de otros muchos, como por ejemplo los procesos meteorológicos, los cuales son tan complejos que no son resolubles mediante formulas matemáticas. Simplemente mirando a nuestro alrededor, nos damos cuenta de que nuestro entorno tiende naturalmente al desorden: un vaso de cristal se cae y se rompe en mil pedazos pero nunca sucede al revés. Si tiramos una piedra a un río no afectamos su cauce, pero si el río estuviera compuesto de moléculas perfectamente ordenadas, la piedra destruiría el curso natural de su cauce.

La teoría del caos empieza a tomar forma y consistencia  matemática cuando adopta a los fractales como objetos geométricos. Hemos dicho que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de algunos sistemas hacen que este evolucione de forma no predecible, pero podemos visualizar este movimiento caótico haciendo un diagrama de fases del movimiento, por ejemplo. Algunas veces no podemos dibujar estos diagramas, pero el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento más o menos definido, el cual llamamos atractor.  El atractor es el tipo de movimiento al cuál tiende el sistema caótico, es decir, el conjunto al cuál el sistema evolucionará después de un tiempo suficientemente grande. Además, para que un conjunto sea un atractor, el movimiento del sistema debe permanecer cerca de él incluso si lo perturbamos levemente. Por ejemplo, el movimiento de un péndulo oscilando tiende al punto medio de su trayectoria, debido al rozamiento con el aire. En este caso decimos que el atractor es un punto. Sin embargo, cuando un crupier lanza una bolita sobre una ruleta, la bolita siempre acaba dando vueltas, por lo que en este caso el atractor del sistema es el movimiento circular. Aunque en estos casos perturbemos la trayectoria del péndulo o de la bolita levemente, al final el péndulo acabara en el punto parado y la bolita dando vueltas alrededor de la ruleta.

Atractor de Lorenz

En estos ejemplos simples, somos capaces de predecir fácilmente cual será el atractor porque son objetos mas o menos cotidianos, pero la filosofía es la misma para sistemas mas complejos, como por ejemplo en las ecuaciones dinámicas que rigen la atmósfera terrestre. Para ciertos parámetros de estas ecuaciones, el sistema exhibe un comportamiento  caótico, cuyo atractor es el atractor de Lorenz, un fractal de dimensión entre 2 y 3. A estos atractores con dimensión no entera se les denomina atractores extraños.

 Esta teoría se usa frecuentemente en modelos meteorológicos y actualmente se investiga la relación entre la teoría del caos y la física cuántica, debido a la evolución desde el desorden al orden de algunas propiedades de las partículas subatómicas. También la medicina estudia la aplicación de la teoría del caos considerando que el corazón humano es un sistema dinámico.

No debemos confundir la teoría del caos con el azar. Hay veces que del mas absoluto caos surge el orden. Seguramente, todos hemos tenido alguna vez nuestro escritorio completamente desordenado y, al ordenarlo, es cuando no hemos podido encontrar algo que estábamos buscando y siempre encontrábamos en el supuesto caos inicial.

Me van a permitir que concluya el artículo pidiéndoles un favor: no regañen ustedes a sus hijos si tienen el dormitorio hecho un caos. Para ellos, todo está en orden.

José David Villanueva García

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20 Comentarios en “Mama, la habitación ya está ordenada: es un caos”

  1. Avatar
    Oscar mayo 29, 2013 at 5:18 pm #

    Compañero David.... me ha encantado. Muy buenos ejemplo y gran consejo el de no regañar a los niños por el supuesto desorden jeje.

    Por cierto, cada vez que leo lo del "Atractor".... me imagino a un tío con gorro de paja encima de un tractor en el campo... uno que es de campo, que te digo.

    Por cierto, se me ocurre que, ¿Que sentido tienen unas ecuaciones y unos sistemas que no pueden predecir mas que un invento matemático como son los fractales? Sé que estoy simplificando mucho... pero me gustaría saber el uso real, porque mas allá del clima y no muy bien, no suelen funcionar para sistemas reales, no es así? sácame de mis dudas y de mis equivocaciones.

    Un abrazo compañero.

    • Avatar
      Jose David mayo 30, 2013 at 9:56 am #

      Hola amigo Oscar, gracias por tus comentarios.
      Realmente, las ecuaciones no intentan predecir fractales. Son sistemas ecuaciones que modelen cualquier tipo de fenomeno fisico. Lo que ocurre es que al variar las condiciones iniciales, el resultado del sistema varia muchisimo. Por ejemplo, puedes tener un sistema de ecuaciones que modele un determinado fenomeno meteorologico y suceda esto.
      Los fractales "no se predicen", se utilizan para este tipo de geometria. Cuando dices que los fractales son "un invento matematico", tienes razon, pero no menos "invento" que los propios numeros o las figuras geometricas, es decir, es una rama de la geometria.
      Los fractales los utilizas (entre otras cosas) para intentar averiguar la convergencia del sistema de ecuaciones. Esto esta enmarcado en la teoria fisica del caos.
      Tengo que decir que, al contrario que otras "teorias" de moda hoy en dia, la teoria del caos, fractales y sistemas dinamicos es una teoria que se puede comprobar en un laboratorio, con un sustento matematico solido y que funciona.
      Otro tema es el uso que le demos a la teoria, que todavia es una teoria joven y en desarrollo. No solo se usa para el clima, tambien se usa para comprimir imagenes digitales o en muchos modelos economicos de prediccion del comportamiento de la bolsa (las graficas bursatiles "se parecen" a fractales). En definitiva, podemos intentar aplicar esta teoria en todos aquellos sistemas donde veamos que no hay un orden aparente. El ejemplo de la habitacion no es casual: a mi no me pasa, pero conozco gente que cuando entras en su habitacion es un autentico disparate, un caos, pero el dueño es capaz de encontrar cualquier cosa dentro de ese supuesto desorden. Eso si, como su madre le "ordene" la habitacion, ya no encuentra nada. Habia orden en el aparente caos. De eso de trata, de encontrar la manera de ver ese orden (si lo hay) dentro del caos.
      Te animo a que investigues un poco mas sobre el tema y abramos un rico debate sobre este tema apasionante.
      Un saludo Oscar.

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    Alexis diciembre 26, 2011 at 5:16 am #

    Me gusto mucho tu ejemplo de las ecuaciones, para ilustrar el efecto mariposa De seguro lo usare en mi curso de introducción a las ciencias en la USFQ. Muchas gracias, Un saludo.

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    Jon diciembre 23, 2011 at 9:09 pm #

    En el primer ejemplo, el determinismo es mayor incluso del que cabría esperar, porque al tirar un objeto al suelo, aún de una masa diferente y sea cual sea esta, la velocidad sigue siendo la misma. El problema del determinismo o del experimento de Lorenz es que no siempre bastan 7 ecuaciones para llegar a la verdad. Los nuevos avances de la ciencia pasan por conocer más efectos y, por tanto, más premisas, que a la larga, hacen que el conocimiento tienda más hacia el determinismo. Estupendo homenaje a la entropía, José David... te haré caso y no regañaré a mi hija porque, como vengo comprobando desde hace muchos años, pardiez que el caos es irreversible!!!!

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      josedavid diciembre 23, 2011 at 9:43 pm #

      Hola. Muchas gracias.
      Es una forma interesante de ver las cosas eso que dices que según avancemos en el conocimiento científico, vamos a hacer a tender al determinismo. Ciertamente es lo que nos indican las investigaciones, aunque algunos campos como la Física Cuántica se resisten a ello y parecen tomar el camino de las probabilidades y la incertidumbre.
      Saludos.

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    Diplotaxis diciembre 23, 2011 at 6:20 pm #

    Si no he entendido mal lo que es un atractor, se puede decir que un modelo matemático de algún sistema físico caótico puede hacer predicciones sobre la evolución de este a medio o largo plazo, siendo el estado esperado de dicho sistema el de establecerse en una dinámica correspondiente a la descrita por el atractor.

    ¿Es correcto?

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      josedavid diciembre 23, 2011 at 6:41 pm #

      Hola.
      Es una explicación correcta, Diplotaxis.
      Aunque de momento son poco los atractores que hacen predicciones precisas a medio y largo plazo. Sin embargo a corto plazo la cosa cambia; por ejemplo, en meteorología, tenemos más o menos un 80% de fiabilidad en el plazo de un día.
      Saludos.

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        Diplotaxis diciembre 23, 2011 at 6:55 pm #

        Gracias. Realmente la aplicación que más me interesa a todo esto es la que tiene en Ecología, que es "mi campo". Sé que en Ecología Teórica se maneja el concepto de atractor (y he oído hablar bastante de "atractores extraños"), pero aún no me he metido en esa rama y hay cosas que no tengo del todo claras. Espero ir aprendiendo con el tiempo.

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          josedavid diciembre 23, 2011 at 9:46 pm #

          Hola.
          Gracias a ti.
          Este es uno de los campos que según te vas adentrando en él te engancha y ya no puedes dejar de seguirlo nunca. Conozco gente que se dedica profesionalmente a ello en el campo de la Física, y lo seguirían haciendo "sin cobrar" de lo que disfrutan con ello. En todo caso, si vas por ese camino te deseo lo mejor y, si quieres, compartas los conocimientos que adquieras con todos nosotros.
          Saludos.

  5. Avatar
    Jose David diciembre 23, 2011 at 10:38 am #

    Exactamente amigo Tito, aunque eso da para otro articulo (o dos). Muchas gracias y saludos.

  6. Avatar
    Tito Eliatronlogspot.com diciembre 23, 2011 at 10:09 am #

    Y sin embargo, en algunas situaciones, la dependencia continua de condiciones inicials (o efecto marioposa) es una mera CONSECUENCIA del caos, y no la definición en sí.

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