Seamos ilustres matemáticos por un momento

Imaginemos una circunferencia. Pongámosle como radio la unidad. Ahora tracemos una línea recta desde el centro al borde. Dicha línea medirá 1, ya que es un radio.

 

Dividamos el círculo en cuatro sectores iguales. Las líneas divisoras son cuatro nuevos radios horizontales y verticales.


Formemos un triángulo usando la primera línea y uno de los cuatro radios divisores, de forma tal que se cree un ángulo recto entre el nuevo lado y el divisor escogido.

 

Llamemos a ese nuevo lado seno del triángulo y al que se apoya en el radio divisor, coseno. De esa manera tenemos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es 1 y los catetos son el seno y el coseno.

Ahora midamos la longitud del seno y el coseno. Anotemos estas longitudes para poder hacer una comparación más tarde.

 

 

Estiremos el coseno y la hipotenusa. Esto hará que también crezca el seno. Como los valores han cambiado, cambiemos también los nombres.

 

 

 

En este triángulo mayor, midamos de nuevo los tres lados.

En principio parece no haber relación con las medidas anteriores. Pero probemos una cosa.

Como lo que hemos hecho es una escala del triángulo inicial, y una escala no es más que una proporción, busquemos proporciones (sólo hay que dividir).

Empecemos con la hipotenusa. ¿Qué proporción representa A respecto a H?

Si lo repetimos en el primer triángulo:

Puede ser casualidad. Busquemos algo más. Vayamos a por el lado B.

Parece que hay alguna relación. Probemos con los dos catetos.

Nos encontramos con que la proporción entre los catetos de ambos triángulos se mantiene (el resultado de las divisiones es el mismo). Llamemos a esta proporción tangente.

 

Como estamos tratando con triángulos rectángulos, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Sigamos poniendo nombre a las cosas y démosle a esta fórmula el título de "Igualdad fundamental de la trigonometría".

 

Pero, ¿qué pasa si movemos el primer radio dibujado, cambiando el ángulo que gorma con el lado divisor?

El seno ha crecido mientras que el coseno ha disminuido. La hipotenusa sigue siendo 1, ya que es el radio.

Repitamos todo el proceso y comprobemos cómo se mantienen las proporciones anteriores para los nuevos valores de seno y coseno.

 

O sea, que los valores de seno y coseno dependen del ángulo, pero sea cual sea ese ángulo podemos usar las mismas proporciones para conocer dichos valores, en cualquier triángulo rectángulo que estudiemos.

He aquí una de las más bonitas y útiles deducciones del mundo de las matemáticas, cuyas aplicaciones tienen por límites los de nuestra propia imaginación.

Nota: Los signos de exclamación en las proporciones no tienen significado matemático.

Adrián Fernández

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10 Comentarios en “Seamos ilustres matemáticos por un momento”

  1. Avatar
    Javier Oribe diciembre 26, 2011 at 11:50 am #

    Bueno, eso de que no hay erotismo en las matemáticas, no sé yo... fijaos en el himno de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla y me contáis:

    http://area71bis.blogspot.com/2009/02/himno-de-matematicas.html

    😀

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      José David diciembre 26, 2011 at 12:38 pm #

      Hola. Buenísima la explicación de los conceptos básicos de la trigonometría, un 10. También buena nota al del himno, estoy deseando oir la música.
      Saludos.

    • Avatar
      felixdiaz diciembre 26, 2011 at 12:47 pm #

      Sobre el mismo tema, se dice que la mujer es la ecuación perfecta, pues eleva el miembro a su máximo exponente, luego lo encierra entre corchetes, le saca el factor común y lo deja reducido a su mínima expresión.

      • Avatar
        Adrián Fernández diciembre 26, 2011 at 1:16 pm #

        Esto está subiendo de tono... jaja

        Al final los matemáticos van a ser todos unos donjuanes. Para que luego digan de los de ciencias...

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      Adrián Fernández diciembre 26, 2011 at 1:14 pm #

      Javi, después de ver eso, retiro lo dicho, jaja.

      Muy bueno el himno 😉

  2. Avatar
    felixdiaz diciembre 26, 2011 at 10:30 am #

    Para mí, la trigonometría siempre me ha parecido la rama más erótica de las matemáticas. Eso del seno y el coseno... por no hablar de la forma de la función.
    Y, claro está, me voy por la tangente.

    • Avatar
      adnandez diciembre 26, 2011 at 10:59 am #

      Yo tampoco sé en qué estaba pensando el que puso los nombres 😀

      Aunque tengo que decir que las matemáticas, lo que se de dice eróticas... no me han parecido nunca, jaja.

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  1. Seamos ilustres matemáticos por un momento - diciembre 26, 2011

    [...] Ésta es mi nueva colaboración en Hablando de ciencia: [...]

  2. Bitacoras.com - diciembre 26, 2011

    Información Bitacoras.com...

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