Aquiles, la tortuga y lo infinitamente pequeño

Con esta entrada Hablando de Ciencia participa en la edición 2.10 del Carnaval de Matemáticas celebrado en Resistencia Numantina.

Se dice que un día Aquiles, el más grande de los guerreros, héroe de Troya y verdugo de Héctor en combate singular, fue retado a una carrera no por un campeón que anhelara arrebatarle su gloria, sino por una simple tortuga. Aquiles, sorprendido, rechazó el duelo por considerarlo poco digno de su condición de hijo de Dioses, pero la tortuga se mostró tenaz y propuso que, para anular toda superioridad que pudiera tener, este no tomaría la salida hasta que ella hubiese ganado nada más y nada menos que un estadio de ventaja.

Finalmente Aquiles dio su aún invicto brazo a torcer y accedió a aceptar tan extravagante reto, pues consideró que la ventaja que daba a la tortuga era tal que permitiría afianzar aún más su reconocimiento como el más veloz de los hombres. La carrera comenzó, y Aquiles esperó a que la tortuga recorriera el primer estadio con la paciencia de la que sólo es capaz el guerrero que ha velado mil batallas. Cuando lo hizo, se lanzó como un rayo hacia la meta deslizándose sobre el suelo tan rápido que habría dejado atrás al más veloz de los corceles, pero a la vez tan grácilmente que habría ganado con facilidad el favor de la damisela de corazón más frío.

Llegó Aquiles al primer estadio y vio que la tortuga había recorrido apenas sesenta pies. Pensó que ya tenía la carrera ganada, pues corría diez veces más rápido que su rival, pero cuál fue su sorpresa al ver que, al avanzar esos sesenta pies, la tortuga se encontraba todavía a seis pies de distancia. Recorrió esos seis pies decidido a dar alcance a la tortuga, pero para cuando lo logró ésta se hallaba a tres quintas partes de un pie de donde él se encontraba. Y aunque Aquiles alcanzó pronto esas tres quintas partes, para cuando llegó la tortuga ya había conseguido avanzar tres partes entre cincuenta más. De esta manera Aquiles, el de los pies ligeros, nunca fue capaz de dar alcance a la tortuga, pues cada vez que llegaba al lugar donde ella había estado un instante antes ésta ya se había desplazado un poco más allá.

Esta historia (de la que me he permitido redactar una versión libre) es una de las conocidas paradojas de Zenón, concretamente la paradoja de Aquiles y la tortuga. Se trata de un sofisma, un razonamiento lógico que aparenta ser correcto pero no lo es, pues evidentemente Aquiles le pegaría una soberana paliza a la tortuga en una carrera real. Existen muchas formas de rebatir a Zenón en su paradoja (como pueden comprobar aquí), pero más que hablarles de lo acertado o no del relato, me gustaría describir un concepto matemático de gran importancia que se esconde en él: el de lo infinitamente pequeño.

Probablemente sin ser consciente de ello Zenón aportó uno de los mejores ejemplos que existen para entender que el infinito no consiste simplemente en comenzar a contar y no parar jamás. El concepto clásico de infinito, el que relacionamos intuitivamente con las cosas infinitamente grandes, es el referido al cardinal de los números naturales, es decir, a la cantidad de números naturales que existen. Sin embargo lo que se describe en la paradoja es una idea muy diferente.

Aquiles, aunque va 10 veces más rápido que la tortuga, recorre primero 1 estadio (600 pies), a los que suma 60 pies, después 6 pies más, luego otros 6/10=3/5, y así va añadiendo sucesivamente 3/50, 3/500, 3/5000 pies... Como se puede seguir indefinidamente dividiendo por diez cada distancia recorrida, en su camino para alcanzar a la tortuga Aquiles se ve obligado a recorrer una cantidad infinita de espacios que llegan a ser infinitamente pequeños, en el sentido de que, por muy reducidos que sean, el espacio siguiente siempre será más diminuto que el anterior.

Más aún, si aplicamos el mismo razonamiento a su rival, la tortuga irá poniendo también de por medio infinitos espacios infinitamente pequeños, manteniéndose siempre alejada de su perseguidor aunque sólo sea por un poco. Como además no parece posible recorrer infinitos espacios en un tiempo finito, Zenón concluye que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Estos espacios representan un concepto de infinito, diferente al de los números naturales y que podemos relacionar con lo infinitamente pequeño, que surge del hecho de que entre dos números cualesquiera siempre se pueden encontrar infinitos números más, por ejemplo: entre el 666 (600+60+6) y el 667 encontramos el 666.6 (666+3/5), el 666.66 (666.6+3/50), 666.666 (666.66+3/500) etcétera. Basándose en esta propiedad Zenón concluyó en su paradoja que, debido a que el espacio se puede dividir en trozos infinitamente pequeños, el movimiento no era posible, y por tanto debía ser mera ilusión.

Pero la realidad no es así, y lo sabemos. ¿Quién se equivoca entonces? ¿Las matemáticas o Zenón? Aunque hoy en día nos pueda parecer absurdo Zenón tenía razones sólidas para pensar que su conclusión era la acertada, pues en su forma de pensar la razón era una herramienta más potente y mucho más fiable que los sentidos, que nos pueden engañar fácilmente. Así, si utilizando la lógica se llegaba a la conlusión de que el movimiento no era posible, entonces es que no lo era por mucho que nuestros ojos vieran a Aquiles adelantar a la tortuga.

Pero las matemáticas por aquella época andaban aún en pañales y con las herramientas que se manejaban entonces no era fácil dar con una explicación que convenciera al bueno de Zenón (por no decir que era imposible). Sin embargo, alrederor de dos mil años después se encontró una forma de sumar cantidades infinitamente pequeñas como las que aquí aparecen, y además cuando se logró los matemáticos se dieron cuenta que algunas de estas sumas dan lugar a valores finitos. Y por suerte para Aquiles, las sumas infinitas que la tortuga pretendía utilizar para ganar la carrera son de estas últimas (pueden ver en esta figura cuál es el valor de la suma en este caso).

Aquiles alcanza a la tortuga a los 2000/3 pies de su salida

Por lo tanto las matemáticas acabaron por resolver la paradoja* demostrando que, aunque Aquiles necesita recorrer infinitos tramos infinitamente pequeños para alcanzar a la tortuga, éstos sumados forman una distancia finita que se puede recorrer en un tiempo determinado. Y así al final Aquiles alcanza a la pobre tortuga, que derrotada no puede hacer más que rendirse ante la evidencia.

- Bueno, lo importante es participar - dijo la tortuga con resignación cuando el hijo de Tetis pasó a su lado corriendo como si persiguiera al mismísimo Ares.

Javier Oribe

(*) Pueden comprobar que no todo el mundo está de acuerdo con esta afirmación aquí.

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14 Comentarios en “Aquiles, la tortuga y lo infinitamente pequeño”

  1. Ed Marzo 23, 2015 at 3:46 am #

    Hay una trampa dialéctica en el planteo de Zenón

  2. Ric ar do Julio 25, 2014 at 7:49 am #

    Si algo pudiera estar formado por partículas infinitamente pequeñas, por ejemplo un ladrillo, al ser éstas infinitamente pequeñas se necesitaría un número infinito de ellas para formar el ladrillo; pero dicho ladrillo tendría que ser infinitamente grande para poder alojar un número infinito de partículas.

    A esto hay que agregar que lo infinitamente pequeño es "nada", y la "nada", por definición, no existe. De modo que, hasta donde alcanzo a entender, solo es posible lo infinitamente grande. Y no sólo posible, sino necesario, pues, ¿Qué hay más allá del Universo? ¿Nada?... si la nada no existe, el Universo es necesariamente infinito.

    • Javi Oribe Julio 28, 2014 at 7:35 am #

      No es necesario ser infinito para contener un conjunto infinito. Por ejemplo, el espacio que ocupa el mismo ladrillo del que hablas se puede medir en micras, pero también en milésimas, millonésimas o cienmilonésimas de micras... y así hasta donde uno quiera. Por tanto el ladrillo contine infinitas unidades de medida infinitamente pequeñas.

      Las series numéricas convergentes, por ejemplo, son también conjuntos infinitos contenidos en conjuntos de longitud finita, como por ejemplo la suma infinita 1+1/2+1/4+1/8+1/16+... es 2, sus términos, que son infinitos, están contenidos en el intervalo finito (0,1], y sus sumas parciales (1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, 1+1/2+1/4+1/8, 1+1/2+1/4+1/8+1/16, ...) lo están en el [1,2], ambos segmentos finitos de la recta real.

      Aquí se explica esto un poco mejor: http://gaussianos.com/cervezas-geometricas/

  3. maynor yovany mtz mdz Septiembre 4, 2013 at 6:08 pm #

    trata de dos corredores que uno le da ventaja al otro..
    aquiles dice que es uno de los mas rapido en corre y la tortuga es la mas lenta.
    y entoce aquiles le da ventaja a la tortuga, en donde aquiles observa que no la encuentra la tortuga es ahi ... surge la paradoja

    "entre mas ventaja das a un corredor nunca podras alcansarlo¨"

  4. freddy martinez alvarado Septiembre 3, 2013 at 3:48 pm #

    no es posible que una tortuga siendo la mas lenta del mundo pueda ganar a uno mas rápido esto es para demostrar que zenon tiene la razón.

  5. Jose carlos Mayo 18, 2013 at 3:55 am #

    El tiempo cambia dependiendo la velocidad que uses como ejemplo.

    Y mientras la velocidad de aquiles supere en diez veces a la velocidad de la tortuga. Siempre se encontraran en los 666.666 pies.

  6. Fernando Cuartero Enero 26, 2012 at 12:48 pm #

    Buena entrada. También recordar el trabajo de Lewis Carroll al respecto, donde lleva, de una manera divertida, la paradoja de Aquiles al terreno de la lógica.

    http://homepage.mac.com/eeskenazi/carroll1.html

    Que, además, me recuerda mucho a las discusiones con creatas: No, si yo acepto que hay evidencia de esto, de esto y de esto y de lo de más allá, pero no me creo la teoría de la evolución.

  7. sargentopez Enero 24, 2012 at 10:49 am #

    No está mal, suponiendo que el espacio no esté cuantizado.
    Si está cuantizado, podemos olvidarnos de integrales, la tortuga nunca podrá avanzar una fracción de una distancia de plack, ni Aquiles tampoco. Cada paso de ambos cubrirá un número entero de distancias de planck.
    ¡Me encanta eso de la cuantización del espacio, porque las mates más elementales pierden el sentido!
    Puedes calcular el área de un círculo de radio 2 u pero no se podría contruir porque pi es irracional y para contruir en longitudes cuantizadas necesitamos numeros enteros.
    Yo creo que hay un mundo por explorar en el cálculo de lo básico, y me da la impresión de que pi o e deben ser .números que darán cuenta de la proporción del espacio calculado, o de la estructura cuántica del espacio.

    • Jon Enero 31, 2012 at 10:09 pm #

      Me lo has quitado de la "boca". Tal vez, el error de Zenon, fuera suponer que "no parece posible recorrer infinitos espacios en un tiempo finito". Tal vez no existan espacios ni tiempos infinitos (progresivos y perfectamente contínuos). Incluso, el espacio de Plank podría ser demasiado grande en comparación con un "cuanto espacial". Si esto fuera así, efectivamente, la paradoja solo necesitaría una explicación matemática para calcular un fenómeno físico, no para ser demostrada. De momento, muchos fenómenos pueden ser explicados suponiendo un espacio cuántico.

  8. Scientia Potentia Est Enero 24, 2012 at 9:36 am #

    Muy buena entrada. El artículo de filosofía del final... digamos que no tiene precio. Os dejo el enlace a una entrada en nuestro blog donde tratamos el tema de las paradojas de Zenon: http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=244

    • javieroribe Enero 24, 2012 at 4:44 pm #

      La verdad es que me quedé "a cuadritos" cuando lo leí, porque además yo esperaba que fuera una argumentación a favor de la resolución del problema y no en contra. Parece que después de tantas vueltas que se la ha dado al tema aún no está claro que esté resuelto, aunque sea en un sentido extremadamente estricto, claro.

      Por cierto, muy buena tu entrada, se explica muy bien cómo solucionar la paradoja (siempre que uno no sea filósofo)

      Gracias por el comentario y un saludo.

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