El problema de los tres cuerpos

El problema de los tres cuerpos es uno de esos típicos problemas matemáticos de apariencia sencilla, que encierra una tremenda complejidad, y que ha traído de cabeza a un gran número de importantes matemáticos y físicos.

El origen de dicho problema proviene de la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya bien conocida fórmula nos indica la fuerza gravitatoria atractiva existente entre dos cuerpos, que es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. También aparece en este problema la segunda Ley de Newton, o principio fundamental de la dinámica, que nos dice que la fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una aceleración directamente proporcional a la masa del mismo.

 

La conjunción de ambas leyes, expresadas en forma vectorial, nos puede proporcionar la trayectoria de un objeto en órbita de otro, conociendo su posición y velocidad en un instante dado. Esto es el origen de la genial idea de Newton, que concibió, cuenta la leyenda, al caerle una manzana de un árbol. Lo cierto es que la solución a este problema es lo que presenta  en su magna obra, de 1687, "Philosophiæ naturalis principia mathematica", donde describe las tres leyes de Kepler como consecuencia directa de aquellas otras dos leyes que él formula. Así, por ejemplo, la primera Ley de Kepler nos dice que los planetas giran en órbitas elípticas en torno al Sol, que está situado en uno de los focos, lo que Newton muestra como una deducción obtenible a partir de su planteamiento. Una demostración muy didáctica e instructiva de esta cuestión fue formulada por Richard Feynman.

Para obtener la trayectoria a partir de las leyes de Newton, basta considerar que la aceleración que proporcionan las mismas, a partir de la fuerza atractiva, corresponde a la derivada de la velocidad, y ésta, a su vez, es la derivada de la trayectoria, ambas con respecto al tiempo. Así pues dicha trayectoria puede ser expresada como una derivada segunda, lo que nos da una ecuación diferencial de segundo orden . Así formulado, tenemos el que se conoce como problema de los dos cuerpos, cuya solución nos proporciona la posición de cada cuerpo, en función del tiempo. Dicho problema, como se indica, fue resuelto inicialmente por el propio Newton, y para el caso general por Euler, quien lo publicó en 1744 en su tratado Theoria Motuum Planetarum et Cometarum.

Resuelto el problema para el caso de dos cuerpos, se plantea el de los tres cuerpos, que se presentaba más complicado y que permaneció largo tiempo abierto, desde que fuera enunciado con dicho nombre por Jean d'Alembert. A primera vista no parece demasiado complicado pues, supuesto uno de ellos fijo en el origen de coordenadas, se reduce a calcular la trayectoria de los otros dos, es decir, dos ecuaciones en lugar de una. Sin embargo, la resolución de ecuaciones diferenciales no siempre es fácil, o mejor dicho, casi nunca lo es. Los casos de ecuaciones lineales tienen solución, pero no es así en los casos no lineales, para los cuales no siempre es posible encontrar una linealización.

El problema fue estudiado por numerosos científicos. Un caso particular para el caso de tres cuerpos fue resuelto por Lagrange, quien demostró que existían cinco posiciones que podían ser resueltas, obteniendo lo que desde entonces se conoce como puntos de Lagrange. En su día esto fue una mera curiosidad matemática, pero que ha devenido en un importante resultado astronómico cuando se descubrieron los asteroides troyanos de Júpiter. En la actualidad estos puntos, por sus especiales características, son de suma importancia para colocar en ellos determinados satélites espaciales.

La primera solución de carácter general se debe a Laplace, quien presenta en 1776 su tratado de Mecánica Celeste, donde explica que las anomalías orbitales de Saturno y Júpiter, que tanto preocuparon a Newton, son meras perturbaciones que sólo dependían de la propia Ley de Gravitación, y tendían a compensarse con el transcurso del tiempo. También  afirma que si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro, lo que dio origen al conocido determinismo laplaciano. Es bien conocida la anécdota de cuando presentó su obra a Napoleón, el cual le inquirió por el papel de Dios en el universo, a lo que respondió: "Sire, esa hipótesis es innecesaria". Sin embargo, la respuesta de Laplace no era exacta, pues en sus ecuaciones del sistema Sol-Júpiter-Saturno despreció un término matemático que creía muy pequeño, pero que podía crecer rápidamente y sin límite, de hecho hasta desestabilizar el Sistema Solar.

Así pues, el problema general seguía sin solución. Por ello el Rey Óscar II de Suecia, en 1884 y en el marco de los festejos conmemorativos de su sexagésimo cumpleaños, organizó un concurso internacional de matemáticas cuyas bases, publicadas en las revistas Acta Mathematica  y Nature, establecían cuatro problemas por resolver. El primero de ellos, propuesto por Karl Weierstrass, era precisamente el problema de los n cuerpos, correspondiente a la generalización del caso de tres, y que pretendía establecer las fórmulas que rigen las trayectorias de los objetos del Sistema Solar. El matemático francés Henri Poincaré, que entonces contaba con 36 años de edad, participó en el mismo, para lo cual comenzó estudiando detenidamente el caso de 3, y presentando su memoria en 1888, con el título de "Mémoire sur les Courbes Définies par une Équation Différentielle", en la que estableció que el problema carecía de solución, siendo declarado ganador por el jurado.

La conclusión principal de Poincaré en dicha memoria era que la evolución del sistema era en extremo caótica, pues una pequeñísima variación en el estado inicial de cualquiera de los cuerpos, como por ejemplo, las debidas a los errores de medición por pequeños que sean,  podría conducir a resultados completamente diferentes. Uno de los integrantes del jurado, Karl Weierstrass, afirmó: «Si bien este trabajo no puede ser considerado como la solución completa del desafío presentado, es de tal importancia que su publicación marcará el comienzo de una nueva era en la historia de la Mecánica Celeste.»

La razón de dicha falta de solución estable es que este problema carece de lo que se conoce como solución analítica, es decir, la integral que se debe resolver para obtener una función que nos represente la posición de cada uno de los cuerpos en función del tiempo, no existe como una expresión en términos de las funciones usuales que todos conocemos, a saber, polinomios de cualquier grado incluso fraccionario, funciones circulares, exponenciales y logarítmicas. No obstante, el que no tenga solución analítica no quiere decir que sea un enigma, pues lo que sí es posible es obtener aproximaciones numéricas con cualquier precisión que queramos, con lo cual sí que podemos  calcular y predecir las trayectorias. Pero lo que Poincaré encuentra es que la solución está descrita por una serie de potencias, en esencia lo mismo que ya habían descubierto Euler o Lagrange, sin embargo, lo más importante es que también prueba que las series no convergen, sino que son divergentes en manera extrema en función de los puntos iniciales, por lo que habría, en realidad, infinitas soluciones diferentes. Así pues, el problema fundamental radica en que cualquier variación en los datos  iniciales, por pequeña que ésta sea, hace que la serie aplicable sea completamente diferente, y es más, la desviación es creciente con el tiempo, por lo que con el transcurso del mismo, cualquier variación se amplificará lo suficiente para hacer que el resultado ofrecido por cualquier modelo aproximado sea completamente diferente de los valores observados en la realidad; el fenómeno conocido actualmente como "efecto mariposa".

El problema de los tres cuerpos ha dado lugar a una variedad de problemas con una casuística muy similar, muchos de ellos muy importantes en nuestra vida cotidiana. Se trata de resolver la evolución de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales, donde pequeñas variaciones producen grandes diferencias en el comportamiento futuro; lo que dificulta o incluso imposibilita la predicción a largo plazo, aun cuando, en rigor, se trata de sistemas completamente determinístas, cuyo comportamiento es completamente predecible de conocer sus condiciones iniciales con exactitud. Este tipo de sistemas se suele denominar sistemas caóticos, y como ejemplos podemos indicar el Sistema Solar, que fue el primero de los estudiados, así como las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento ,los crecimientos de población o diferentes modelos económicos.

Fernando Cuartero

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